一、几何约束v.s.微分约束

这两种约束的核心区别在于几何约束（geometric constraint）仅仅是对物体的位置坐标进行了约束，而微分约束则引入了速度维度，约束方程中包含了位置对时间的导数的项。所以我们看到一个约束方程中包含速度项 x ˙ \dot{x} x˙，那么这个约束就升级为了微分约束（differential constraint）。

(资料图)

二、可积分约束v.s.不可积分约束

对于微分约束，如果满足可积性条件，能够表示成等价的积分形式，则称为可积约束（Integrable constraint），可积约束可以通过以下几种情况来进行判定： 不满足以上条件的，就成为不可积分约束（Non-integrable constraint）。

三、完整约束v.s.非完整约束

根据以上两种分类，我们再做一个聚类，把几何约束和可积分的微分约束归为一大类，叫做完整约束（holonomic constraint）；对于不可积分的微分约束，成为不完整约束（nonholonomic constraint）。

四、定常约束v.s.非定常约束

如果时间t不明显地出现在约束方程中，则称其为定常约束（scleronomic constraint），或者叫做稳定约束，否则则称为是非定常约束（rheonomic constraint），或者说这是一个时变的约束哈哈哈。所以定常和非定常的关键在于是否为时间的函数。

五、单面约束v.s.双面约束

如果约束方程是等式约束，表示位置只能出现在约束方程确定的曲线、平面或者空间中，就像是夹在两个平面之间，所以叫做双面约束（Double constraints）。否则，如果约束方程是不等式，那么位置的选点就可以在一侧自由。单面约束（unilateral constraint）又叫可解约束，双面约束又叫不可解约束。

六、单面理想约束v.s.双面理想约束

无论是完整约束还是不完整约束，满足约束力在系统点的任何虚位移上所做元功之和等于零就可以称为是理想约束。 对于双面理想约束，可以用一下表达式来表达： ∑ i = 1 N F N i ⋅ δ r i = 0 \sum_{i=1}^{N} \boldsymbol{F}_{N i} \cdot \delta \boldsymbol{r}_{i}=0 i=1∑NFNi⋅δri=0 而对于单面理想约束，满足约束力在系统点的任何虚位移上所做的元功大于或等于零： ∑ i = 1 N F N i ⋅ δ r i ⩾ 0 \sum_{i=1}^{N} \boldsymbol{F}_{N i} \cdot \delta \boldsymbol{r}_{i} \geqslant 0 i=1∑NFNi⋅δri⩾0其中，等号对应的是非释放位移，大于号对应的是释放位移。如果有耗散力，比如做功不为零的摩擦力，那么这个约束就不是理想约束。