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上回讲到二元一次方程组的解法, 一个自然的问题是如何把它推广到更高维度, 比如三元一次方程组怎么解? \(n\)元一次方程组怎么解? 这节先来回答第一个问题.

考虑三元一次方程组 \[ \left\{\begin{split} &x+y+z=6\\ &x+2y-z=2\\ &2x+3y-2z=2 \end{split} \right.. \] 我们先来尝试加减消元法, 我们假设第一行乘以\(a\), 第二行乘以\(b\), 第三行乘以\(c\), 然后相加. 得到 $$(a+b+2c)x+(a+2b+3c)y+(a-b-2c)z=6a+2b+2c.$$

为了消去\(y,z\), 需要满足 \[ \left\{\begin{split} &a+2b+3c=0\\ &a-b-2c=0 \end{split} \right.. \] 为了求出\(x\), 需要先解另外一个三元一次方程组, 为了求出\(y,z\), 还要再解另外两个三元一次方程组, 似乎这条路很麻烦. 而且要求的\(a,b,c\)似乎看不出什么规律. 其实还是有规律可循的, 这里暂且按下不表.

那么我们再来看看代入消元法. 把第一个方程中的\(x\)用\(y,z\)表示, 代入第二个方程, 可得 $$6-y-z+2y-z=2\Leftrightarrow (2-1)y+(-1-1)z=2-6.$$ 本质上相当于第一个方程乘以\(-1\)加到第二个方程上, 同样的道理, 将第一个方程代入第三个方程本质上相当于第一个方程乘以\(-2\)加到第三个方程上. 所以得到 \[ \left\{\begin{split} &x+y+z=6\\ &0+y-2z=-4\\ &0+y-4z=-10 \end{split} \right.. \] 然后将第二个方程代入第三个方程, 本质上相当于第二个方程乘以\(-1\)加到第三个方程上, 得到 \[ \left\{\begin{split} &x+y+z=6\\ &0+y-2z=-4\\ &0+0-2z=-6 \end{split} \right.. \] 然后第三个方程可以解出\(z=3\), 代入第二个方程得到\(y=2\), 再代入第一个方程得到\(x=1\). 这样就解出了方程组.

上面的方法在数学上称为高斯消去法, 对多元线性方程组也适用. 这种在某一行乘以一个数再加到另外一行的技巧叫做第三类初等变换, 以后还会继续用到.